กำหนดให้



ให้ x1 และ x1 + Δx อยู่ในช่วง [a, b] จะได้



และ



นำทั้งสองสมการมาลบกันได้


เราสามารถแสดงได้ว่า


(ผลรวมพื้นที่ของบริเวณที่อยู่ติดกัน จะเท่ากับ พื้นที่ของบริเวณทั้งสองรวมกัน)

ย้ายข้างสมการได้



นำไปแทนค่าใน (1) จะได้



ตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยสำหรับการอินทิเกรต จะมี c อยู่ในช่วง [x1, x1 + Δx] ที่ทำให้


แทนค่าลงใน (2) ได้


หารทั้งสองข้างด้วย Δx จะได้

สังเกตว่าสมการข้างซ้าย คือ อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน (Newton's difference quotient) ของ F ที่ x1 ใส่ลิมิต Δx → 0 ทั้งสองข้างของสมการ



สมการข้างซ้ายจะเป็นอนุพันธ์ของ F ที่ x1


เพื่อหาลิมิตของสมการข้างขวา เราจะใช้ทฤษฎีบท squeeze เพราะว่า c อยู่ในช่วง [x1, x1 + Δx] ดังนั้น x1 ≤ c ≤ x1 + Δx

จาก และ

ตามทฤษฎีบท squeeze จะได้ว่า



แทนค่าลงใน (3) จะได้


ฟังก์ชัน f มีความต่อเนื่องที่ c ดังนั้น เราสามารถนำลิมิตแทนในฟังก์ชันได้ ดังนั้น


จบการพิสูจน์

แล้วมันก็ยังติดค่า Pi อยู่

จริงๆแล้วที่ทำมาทั้งหมดมันมั่ว จริงๆทำแบบนี้




ซึ่ง (x) คือprime-counting function ใน natural logarithmของ x ซื่งในสามาการที่ให้มา
มีรูปแบบของ Big O notation อยู่ (ตัว O ใหญ่อะ) มันอยู่ทางขวาใช่ปะ ซื่งจะไม่ asymptotic เนื่องจากมัน Lowell Schoenfeld ก็ตามนั้นแล้วพูดได้ว่า ค่า pi Riemann เทียบเท่าได้กับ



ใครรู้มั่งเว็บมาสเตอร์ลาบเป็นคือใคร ไปตายซะ

ขอบคุณ วิกิพีเดีย และกระดาษทดเลขกับปากกาตราม้าหัวเข็ม